Un resorte se alarga 10 cm cuando se cuelga de su extremo libre un cuerpo de 2'0 Kg de masa. Se coloca el sistema en un plano horizontal sin rozamiento, desplazando el cuerpo 3'0 cm de su posición de equilibrio y a continuación lo soltamos. calcular la pulsación, el período, la velocidad máxima y la energía mecánica.
La constante elástica del resorte se determina teniendo en cuenta que la deformación es proporcional a la fuerza deformante:F = k . x ® k = F / x = 2 . 9'8 / 0'1 = 196 N /m
Si alargamos el sistema en equilibrio 3 cm, se inicia un Movimiento armónico simple pues en todo momento la fuerza recuperadora del resorte es proporcional y opuesta a la elongación:
F = - k . x ® m.a = - k . x ® a = - (k / m) . x
ecuación de un M.A.S. cuya amplitud es 0'03, máxima deformación que hemos producido. Las distintas ecuaciones, siendo A la amplitud, w la pulsación y f el desfase, quedan:
a = - w2 . x ® k /m = w2 ® w = (k / m)½ = (196 / 2)½ =9'9 rad /s
T = 2. p / w = 2. p / 9'9 = 0'63 s
x = A . sen (w.t -f) ® x = 0'03.sen(9'9.t -f) ® x = 0'03.sen(9'9.t - p/2)
v = A . w . cos(wt - f) ® v = 0'03.9'9.cos(9'9.t - f) ® v = 0'297.cos(9'9.t - p/2)
a = - A . w2 . sen(wt - f) ® a = - 0'03.9'92.sen(9'9.t -f) ® a = - 2'94.sen(9'9.t - p/2)
Si empezamos a contar el tiempo cuando soltamos el resorte, extremo derecho, el desfase valdrá:
0'03 = 0'03 . sen (w.0 - f) ® sen f = 0 ® f = p/2
La velocidad máxima se produce cuando pasa por el punto de equilibrio, x = 0, como se demuestra derivando la velocidad e igualando a cero:
dv/dt = - A.w2 .sen(w.t - p/2) = 0 ® sen(w.t - p/2) = 0 ® cos(w.t - p/2) = 1
vmáx = A.w .1 = 0'03 . 9'9 = 0'297 m /s, en ambos sentidos
La energía mecánica será la suma de la energía cinética más la energía potencial del resorte:
Em =Ec + Ep = ½.m.v2 + ½.k.x2 = ½.m.v2 + ½.m.w2.x2
Em = ½.m.A2 .w2 .cos2(w.t -p/2) + ½.m.w2.A2 .sen2(w.t -p/2) = ½.m.A2 .w2 = ½.2.0'032 .9'92 = 0'088 J
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